Готовимся к экзамену по автоматизации химических процессов

Математическое описание САР и их элементов

Целью рассмотрения систем автоматического регулирования может быть решение одной из двух задач - задачи анализа или синтеза системы. В первом случае имеется система, известны ее параметры, требуется определить свойства системы, например качество переходных процессов, устойчивость, точность. Во втором случае, наоборот, задаются свойства системы и необходимо создать систему, удовлетворяющую этим свойствам. Эта задача, как правило, неоднозначна и много сложнее задачи анализа.В самом общем виде порядок исследования системы регулирования включает математическое описание системы, исследование установившихся и переходных режимов.Под математическим описанием понимают дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений высокого порядка, описывающую систему регулирования.Для упрощения математического описания систему разбивают на отдельные элементы – звенья, каждые из которых выполняют свои самостоятельные функции. Они описываются либо аналитически в виде дифференциальных уравнений не выше 2-го порядка, либо графически в виде характеристик, связывающих входные и выходные величины звена. Главное требование, которому должны удовлетворять звенья системы регулирования, - это требование направленности действия. Звеном направленного действия называется звено, которое передает воздействие только в одном направлении — со входа на выход, так что при последовательном соединении Xзвеньев изменение состояния последующего звена не влияет на состояние предшествующего звена.В результате при разбивке системы на звенья направленного действия математическое описание каждого звена может быть составлено без учета его связей с другими звеньями. При этом математическое описание всей системы регулирования может быть получено как совокупность дифференциальных уравнений или характеристик отдельных звеньев, дополненных уравнениями связи между звеньями.

 

Методика получения математических моделей статики и динамики. Понятия о линейных элементах.

Свойства систем автоматического регулирования определяются статическими и динамическими характеристиками звеньев, входящих в систему, причем объект управления рассматривается как составное звено системы управления. Статической характеристикой элемента (технического устройства) называется зависимость его выходной величины от входной в равновесных состояниях, то есть:clip_image006 Статическая характеристика может быть представлена уравнением, графиком или таблицей. При графическом изображении статической характеристики по оси абсцисс откладывают значения входной величины clip_image008, а по оси ординат – значения выходной величины clip_image010. Статическая характеристика называется линейной, если зависимость между clip_image008[1] и clip_image010[1] линейна (графически она представляет собой прямую линию). Элемент с такой характеристикой также называется линейным.Если характеристика описывается нелинейным уравнением или системой уравнений, а ее график есть кривая или ломаная линия, то такая характеристика называется нелинейной, а элемент – нелинейным. Возможные характеристики линейного и нелинейного элементов показаны на рис.6.

 Статические характеристики элементов

Рис. 6 – Статические характеристики элементов:

а – линейная, б, в, г, д, е – нелинейные.

Уравнение линейной статической характеристики имеет вид:

clip_image014

где clip_image016- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом усиления.

Для нелинейных элементов математическая запись статической характеристики может быть различной в зависимости от вида нелинейности.

Большинство элементов, входящих в САР, в большей или меньшей степени нелинейны.

Учитывая, что расчеты САР производятся для сравнительно небольших отклонений переменных величин от их базовых значений (clip_image018, clip_image020), поэтому уравнения записываются не в абсолютных значениях переменных, а в их абсолютных отклонениях:

clip_image022

Нелинейные элементы с плавно изменяющимися характеристиками можно рассматривать как имеющие линейную статическую характеристику. При этом линеаризацию статической характеристики можно производить не на всем диапазоне значений входных и выходных величин, а на небольшом участке в окрестности точки, соответствующей равновесному состоянию.

На рис.6. (в) небольшой участок нелинейной характеристики около точки А (базовых значениях clip_image018[1] и clip_image020[1]) можно считать линейным. Он совпадает с касательной, проведенной к кривой в этой точке. Коэффициент усиления линейного участка характеристики определяется здесь как тангенс угла наклона clip_image024 касательной к оси абсцисс:

clip_image026

В дальнейшем мы будем рассматривать элементы, характеристики которых линейны или могут быть линеаризованы с допустимой степенью точности.

Системы регулирования, состоящие из таких элементов, называются линейными (или линеаризованными).

 

Динамические характеристики динамических элементов, передаточные функции

Так как САР являются динамическими системами, знания одних только статических свойств элементов САР недостаточно. Необходимо знать динамические свойства элементов САР, оцениваемые динамическими характеристиками.Динамической характеристикой элемента называют зависимость изменения во времени выходной величины clip_image010[2] от изменения входной clip_image008[2] в переходном режиме, т.е. при переходе из одного состояния в другое; характер изменения входной величины может быть разным.Динамические свойства элементов (и САР в целом) могут быть представлены дифференциальными уравнениями, с помощью которых описываются переходные процессы в элементах. Поэтому задача определения динамической характеристики того или иного элемента системы сводится к составлению его дифференциального уравнения на основании знания принципа действия и физических законов, положенных в основу работы элемента.Рассмотрим схему звена, изображенного на рис.7. Описанием звена служит дифференциальное уравнение, связывающее выходную величину Yи входную X. Пусть, например, связь между Xи Yвыражается уравнением 2-го

 

Вы здесь: Home Автоматизация Готовимся к экзамену по автоматизации химических процессов